7. БИЗНЕС-РЕИНЖИНИРИНГ

7.1. МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЖИЛИЩНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

Бекларян Л.А., д.ф.-м.н., проф., главный научный сотрудник;
Крученов М.Б., научный сотрудник
Центральный экономико-математический институт (ЦЭМИ) РАН

 

Введение

В процессе проведения жилищно-коммунальной реформы при снижении государственных вложений в жилищный сектор, изменениях в формах собственности, структуре источников финансирования строительства и способах удовлетворения потребностей в жилье остро встает вопрос о необходимости обеспечения граждан адекватным жильем в зависимости от их потребностей и реальной платежеспособности. На современном этапе реформирования жилищной сферы основной задачей региональной жилищной политики является разработка и реализация методов и механизмов по расширению границ доступности жилья для различных категорий населения.

В настоящее время в России еще не создана эффективная ипотечная система (то есть механизм долгосрочного кредитования под залог заемщика), что объясняется сложной политической и финансовой ситуацией в обществе, недостаточностью правового обеспечения ипотеки, неготовностью банков к развитию ипотеки, так как это связано с долгосрочным кредитованием и низкой доходностью.

Концепция ипотечного кредитования разрабатывалась в докризисном периоде и была ориентирована на дешевые иностранные займы и доступность широкому слою платежеспособного населения. Концепция в своем первоначальном варианте в качестве базовой основывалась на двухуровневой американской модели: выдача уполномоченными банками кредитов, создание ипотечного агентства, выпуск ценных бумаг, обеспеченных ипотечными обязательствами, выкуп кредитов, разработка стандартов и правил, обязательных для всех участников этой системы. При этом для жилищного проекта в Москве было установлено - кредит не более 70% от стоимости приобретаемой квартиры, процентная ставка 10% в валюте, платежи по погашению кредитной задолженности должны составлять не более 30% от совокупного семейного дохода заемщика.

Тем не менее существует множество способов, с помощью которых можно постепенно приобрести жилье, но эти схемы нельзя назвать ипотечными, так как в большинстве из них или почти отсутствует, или присутствует в зачаточном состоянии сама ипотека (залог недвижимости). Тем не менее квазиипотечные модели носят важный переходный характер и соответствуют современному этапу развития российской экономики. На нынешнем этапе они необходимы, ибо благодаря им постепенно активизируется и цивилизуется рынок жилья, а в перспективе им предстоит послужить отправными точками для формирования и развития полномасштабной системы ипотечного жилищного кредитования, базирующейся на исключительно рыночных механизмах.

Основной принцип новой концепции ипотечного кредитования должен заключаться в том, что агентство должно зарабатывать и расширять свой финансовый потенциал, направлять бюджетные ресурсы на развитие самой системы жилищного кредитования, а не расходовать их. Это позволит, во-первых, (при снижении процентной ставки) вовлечь в ипотеку нижние и средние группы (слои) так называемого среднего класса (а не только верхние высокодоходные слои), что позволит сделать ипотеку массовой, во-вторых, другое важное условие успешного развития ипотечной системы - это стабильность и устойчивость этой системы. Однако в современных условиях недостаточно ориентироваться только на развитие одной двухуровневой системы ипотеки, возможности которой проявятся в среднесрочной перспективе после прохождения периода ее становления (2003-2007 гг).

Поэтому в современных условиях параллельно должны быть сделаны акценты на развитие других моделей финансирования жилищного строительства, в частности тех, что не требуют внешнего инвестирования.

В настоящей работе строится и исследуется одна математическая модель финансирования проекта жилищного строительства, не связанного с привлечением банковского кредита (и, как следствие, последующим его обслуживанием), в предположении о случайном характере динамики активов застройщика. В рамках построенной модели ставятся и решаются три задачи оптимизации ценовой политики, каждая из которых отражает некие “стратегические” соображения застройщика по отношению к риску (в смысле отклонения значений реальных финансовых потоков от запланированных). В качестве критериев оптимальности выступают значения средней ожидаемой доходности в момент окончания проекта и среднего отклонения от нее. Такая “оптимизация в среднем” имеет право на существование отчасти потому, что проект в целом обладает свойством повторяемости. Полученные задачи приводятся к виду канонических задач оптимального управления и исследуются посредством применения необходимого условия оптимальности первого порядка - принципа максимума Л.С. Понтрягина. В результате этого поставлены двухточечные краевые задачи принципа максимума, обладающие довольно сложной структурой (уравнения являются нелинейными, а краевые условия заданы на разных концах интервала) и аналитического решения не имеют. Для их численного интегрирования была составлена программа. Кроме того, в данной работе показано, что у всех трех задач оптимизации ценовой политики существует решение, поэтому результаты интегрирования соответствующих краевых задач выделяют нам именно его. Дальнейшее усовершенствование описанной модели возможно путем включения в полученные задачи оптимального управления некоторого фазового ограничения, отражающего условие положительности сальдо платежного баланса, но тогда их решение значительно усложнится.

1. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ И ПОСТАНОВКА ТРЕХ ЗАДАЧ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОЙ ЦЕНОВОЙ ПОЛИТИКИ

Рассматривается проект финансирования жилищного строительства в предположении о случайном характере динамики активов застройщика (организации, занимающейся строительством коммерческого, т.е. пользующегося платежеспособным спросом, жилья). Данное предположение обусловлено тем, что в ходе строительства застройщик использует финансовый поток, частично формируемый покупателями жилья, при этом распределение во времени сметных расходов на строительство известно, а момент поступления средств от каждого конкретного покупателя содержит элемент неопределенности. Поскольку в данном случае речь идет о статистически однородных событиях массового характера, то в качестве инструмента учета неопределенности правомерно использование вероятностных методов.

Опишем условия функционирования проекта:

  1. Известен интервал времени функционирования проекта (от момента начала строительства до момента сдачи объекта в эксплуатацию).

  2. В качестве объекта жилищного строительства рассмотрим, к примеру, жилой дом на квартир, обладающих одинаковой потребительской полезностью.

  3. Известна прогнозируемая динамика цен на недвижимость подобного типа (с фиксированными параметрами) (цена квартиры, готовой к заселению, на первичном рынке жилья).

  4. Известно распределение во времени сметных расходов на строительство тогда - сметная стоимость объекта.

  5. Известен инвестиционный капитал самого застройщика , вкладываемый в проект (интересен лишь случай ).

Для восполнения недостающей суммы иной застройщик в момент времени (где определяется из условия ) получил бы банковский кредит в размере с датой погашения и процентной ставкой , тогда условие окупаемости проекта запишется в следующем виде:

(1)

Можно считать, что при массовом использовании этой схемы финансирования так, собственно, и формируется . Здесь поступление средств от продажи всех квартир отнесено к моменту времени , хотя на самом деле они распродаются при .

Подобное допущение отчасти оправдано тем, что при застройщик уже не несет прямых расходов на строительство, а функция - как правило неубывающая, это объясняется постоянно растущим спросом на жилье. (В частности, в работе [2] указывается на тенденцию ускоряющегося трендового роста начиная со второй половины 2000 года. Цены на рынке в среднем стали возрастать на 10% ежемесячно, спрос в основном концентрируется на одно- и двухкомнатных квартирах).

Далее будет рассматриваться другой способ финансирования – привлечение в качестве инвесторов строительства потенциальных покупателей жилья. При этом поступление средств должно быть обеспечено в процессе строительства. Очевидно, что при продаже квартиры с отсрочкой заселения (так как она еще не построена) спрос должен быть стимулирован снижением цены, возможно весьма существенным по сравнению с ценой квартир, имеющихся в данный момент на рынке и готовых к заселению (т.е. ).

Будем считать, что застройщик установил цену квартиры равной (в условиях идеальной конкурентной экономики с учетом изложенного выше должно быть ), и опишем динамику его активов.

Пусть на оси времени случайным образом возникают точки - моменты появления следующих событий: пришел -й покупатель, и в случае наличия непроданных квартир (т.е. ) застройщик получает от -го покупателя сумму . Платежный баланс застройщика на момент времени (здесь - случайное число событий за [0, ]), имеет сальдо

(2)

Относительно указанных выше событий будем считать выполненными следующие предположения:

П1. Появление события в момент времени не зависит от событий, предшествующих этому событию (отсутствие последействия);

П2. Вероятность появления одного события за промежуток времени равна

,

где функция двух аргументов называется интенсивностью потока событий. Очевидно, что функция должна являться возрастающей и по первому, и по второму аргументу, кроме того, справедливо:

при ;

при .

Функцию считаем заданной;

П3. Вероятность появления двух и более событий за промежуток времени равна (ординарность).

Итак, функции , а также величины , и суть экзогенные составляющие данной модели, а функция подлежит определению.

Теперь можно сформулировать ряд задач, каждая из которых отражает поведение застройщика, определяемое некоторыми “стратегическими” соображениями (тогда как решение соответствующей задачи определит его “тактическое” поведение).

Задача для застройщика, склонного к риску: Найти ценовую политику

которая максимизирует ожидаемое значение доходности застройщика на момент времени при условии, что квадрат риска равняется некоей допустимой с точки зрения застройщика величине. (Здесь под ожидаемой доходностью и квадратом риска понимается соответственно значение функции математического ожидания и значение дисперсионной функции случайного процесса при фиксированном ). Формально такая задача имеет следующий вид:

;

(3)

- задано.

Задача для застройщика, не склонного к риску: Найти ценовую политику которая минимизирует риск застройщика при фиксированной ожидаемой доходности в момент времени :

- задано;

(4)

Здесь норма прибыли застройщика. При этом очевидно, что для достаточно больших величин вовсе не существует способных удовлетворить первому соотношению задачи (4). Поэтому для решения задачи (4) необходимо сперва решить следующую задачу.

Задача для застройщика, склонного к авантюризму:

(5)

Кроме того, в задачах (3)-(5) можно потребовать от выполнения условия

(6)

т.к. если для некоторого будет , это означает приостановление строительства. Однако, как будет видно далее, добавление условия (6) в какую-либо из задач (3)-(5) превращает ее в задачу оптимального управления с фазовым ограничением, решение которой сопряжено с определенными трудностями.

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Изучим подробнее некоторые вопросы, связанные с описанием динамики активов застройщика, в частности, упомянутый выше поток событий. Найдем вероятность того, что за произойдет событий, . Для этого сравним величины и и составим дифференциальное уравнение для . Пусть , т.е. за (0,) не произойдет ни одного события. За время не появится ни одного события, если событий не будет на интервалах (0, ) и , т.е.

или

При получим дифференциальное уравнение:

(7)

Решение этого уравнения есть

(8)

Если , то имеются две возможности: либо событие произошло в интервале (0, ), либо в :

откуда

Решение этого уравнения:

.

В общем случае для

(9)

откуда

(10)

Таким образом, вероятность того, что на интервале (0, ) в данном нестационарном потоке произойдет событий, описывается распределением Пуассона с параметром

Следует заметить, что интервал времени между двумя соседними событиями в данном потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока. Это следует из соотношения:

Пусть на момент времени произошло событий, тогда момент появления -го события. Найдем функцию распределения случайной величины :

(11)

и ее плотность вероятности

(12)

Здесь мы воспользовались соотношениями (7) и (9).

Теперь можно приступить к более четкому описанию понятий, о которых мы упомянули ранее (при формулировке задач (3)-(5)) и которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Сперва найдем выражение для величины

. Пользуясь равенством (2) и учитывая, что первые два слагаемых в его правой части - неслучайные величины, получим:

Допустим, что в некоторый момент времени случайная величина приняла некоторое фиксированное значение . Вероятность этого равна, а условное математическое ожидание ([1]) будет равно

Тогда полное математическое ожидание величины определяется выражением

Согласно свойству линейности математического ожидания справедливо

Поскольку случайные величины абсолютно непрерывны, то математические ожидания их функций вычисляются следующим образом

(13)

где

Следовательно

(14)

Учитывая очевидное условие нормировки вероятностей

получим

(15)

Далее мы воспользуемся соотношением для плотности вероятности случайной величины , которое очевидным образом следует из соотношений (11) и (12):

Тогда

Таким образом, величина равна:

(16)

Теперь найдем выражение для . Дисперсионная функция обладает следующим свойством :

(17)

где

как было показано ранее. Для того, чтобы применить соотношение (17), нужно вычислить величину (т.н. второй начальный момент).

Пользуясь изложенным выше приемом, получим


Теперь воспользуемся предположением П1. Величины и , где являются попарно независимыми при , а следовательно - некоррелированными.

Таким образом, согласно формуле (17) получим


Далее применим соотношения (13) и (15). Сперва вычислим следующее выражение:

Тогда выражение для окончательно примет следующий вид:

(18)

3. ЗАДАЧА ДЛЯ ЗАСТРОЙЩИКА, СКЛОННОГО К АВАНТЮРИЗМУ

Сперва займемся решением задачи (5). Во-первых, очевидно, что она обладает наиболее простой структурой по сравнению с задачами (3) и (4). Кроме того, как уже было отмечено, результат, полученный при ее решении, необходим для проверки корректности постановки задачи (4).

С учетом соотношения (16) выражение (5) запишется в следующем виде:

(19)

Введем следующие обозначения:

(20)

(21)

(22)

Очевидно, что выполняются условия

(23)

С учетом выражений (20), (22), (23) а также (10) и (12) запишем задачу (19) в следующем виде:

Максимизировать функционал

(24)

при условиях

(25)

(26)

(27)

(28)

Задача (24)-(28) имеет вид канонической задачи оптимального управления (задачи Майера, т.к. функционал (24) содержит лишь терминальную компоненту). Момент окончания процесса - задан. Допустимыми управлениями будем считать кусочно-непрерывные функции со значениями в множестве .

Необходимым условием оптимальности в задаче (24)-(28) является принцип максимума Л.С. Понтрягина [3,4].

Теорема. Пусть пара является оптимальным решением задачи (24)-(28). Тогда существует такая вектор-функция

при которой:

1) в каждой точке непрерывности управления функция Гамильтона-Понтрягина достигает максимума по управлению, т.е.

(29)

где

(30)

2) выполняется условие трансверсальности

(31)

при произвольных и (т.к. правый конец свободен), а вариация определяется следующим образом:

(32)

3) удовлетворяется система уравнений

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

¾

Нетрудно видеть, что уравнения (36) имеют вид

(38)

поскольку гамильтониан (30) не зависит от первых фазовых переменных.

Следовательно,

(39)

Предположим, что функция интенсивности

имеет вид

(40)

где

и - некоторые константы. Тогда выражение (30) запишется в следующем виде:

(41)

где

(42)

(43)

Найдем структуру подозрительного на оптимальность управления из условия (29) максимума гамильтониана (41) по управлению. При этом решается задача поиска наибольшего значения квадратного трехчлена на отрезке . Гамильтониан (41) имеет стационарную точку, определяемую из условия

(44)

откуда

. (45)

Как будет показано далее, тогда из (26), (27), (40) и (42) следует, что следовательно, в точке выполняется достаточное условие безусловного максимума гамильтониана по управлению:

(46)

Таким образом, подозрительное на оптимальность управление обладает следующей структурой:

(47)

Проверим выполнение условия трансверсальности в форме (31). Для этого необходимо вычислить вариацию . Пользуясь выражением (24), получим:

(48)

(49)

Тогда, согласно (32), будет

(50)

Следовательно, условие трансверсальности (31) с учетом (39) запишется следующим образом:

(51)

Поскольку вариации

произвольны, справедливо следующее:

(52)

(53)

Согласно выражению (52) очевидно, что

. Следовательно, достаточное условие (46) безусловного максимума гамильтониана по управлению действительно выполняется. Теперь выпишем уравнение (37):

(54)

Таким образом, получена двухточечная краевая задача для системы уравнений (33), (34), (39), (54) (с достаточно сложной структурой правой части) с краевыми условиями (35), (52), (53). Она не является классической задачей Коши, т.к. первые краевых условий заданы при = 0, а оставшиеся - при , и поэтому численная реализация нахождения ее решения затруднена отсутствием эффективного способа получения начальных условий. Решение подобных краевых задач, возникающих в результате применения принципа максимума, сводится либо к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, либо к максимизации вогнутой функции в конечномерном пространстве [5,6].

Так или иначе, в результате решения данной краевой задачи определяется пара , на которой может достигаться экстремум функционала (24). Интересно, что в данном случае оптимальная ценовая политика не зависит от сметной стоимости объекта и инвестиционного капитала застройщика (это объясняется отсутствием ограничения (6)).

Теперь определим, какова мера отклонения величины от ее ожидаемого значения , т.е. мера риска. Как было отмечено ранее, она характеризуется значением дисперсионной функции .

Верхнюю границу для вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания устанавливает неравенство П.Л. Чебышева [1], которое в нашем случае выглядит следующим образом:

(55)

С учетом обозначений (20)-(22) выражение (18) для дисперсионной функции можно переписать так:

(56)

Пример. Пусть = 2, тогда полученная краевая задача принципа максимума будет выглядеть следующим образом:

.

Эта задача решена численно при помощи специально написанной программы. Приводится результат для следующих данных: = 365,

Графики функций и изображены на рис. 1.

Ожидаемое значение доходности по проекту равно –+ + 43 406, а чистая прибыль равна – + 43 406. Графики текущего ожидаемого значения доходности (16) для случая = 40 000 представлены на рис. 2 (для значений собственного инвестиционного капитала застройщика = 0 и = 2 000). Видно, что если застройщик обладает инвестиционным капиталом, примерно равным 2 000 и более, то выполняется условие (6), т.е. в среднем в процессе строительства будет обеспечена возможность своевременно производить платежи.

Рис. 1. Численное решение

Рис. 2. Текущее ожидаемое значение доходности

Значение дисперсионной функции равно 3 159 364. Из (55) следует, что вероятность отклонения величины от ее ожидаемого значения более чем на (правило “трех сигм”) не превосходит

4. ЗАДАЧА ДЛЯ ЗАСТРОЙЩИКА, СКЛОННОГО К РИСКУ

Теперь приступим к решению задачи (3). С учетом ранее полученных соотношений (19) и (56) и обозначений (20)-(22) она трансформируется в следующую задачу оптимального управления:

Максимизировать функционал

(57)

при условиях

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

Заметим, что в данной задаче фазовый вектор имеет размерность :

(64)

Условие (63) означает, что правый конец траектории динамической системы (58)-(61) должен находиться на соответствующей гиперповерхности из . Таким образом, рассматривается задача с закрепленным левым и подвижным правым концом.

Для решения задачи (57)-(63) вновь воспользуемся принципом максимума. Функция Гамильтона-Понтрягина такова:

(65)

Как и в задаче авантюриста, функция зависит лишь от последней фазовой переменной, поэтому

(66)

Опять сделаем предположение, что

(67)

где

и - некоторые константы.

Тогда (65) с учетом (42)-(43) преобразуется следующим образом:

(68)

где

(69)

(70)

(71)

Таким образом, функция представляет собой многочлен третьей степени по . Найдем его стационарные точки.

(72)

откуда

(73)

(74)

Для того, чтобы функция достигала в точке безусловного максимума по управлению, достаточно выполнения в этой точке условия

(75)

Подставив выражение (73) в (74) получим, что из двух стационарных точек точкой безусловного максимума функции по управлению является та, что содержит знак “–” перед квадратным корнем:

(76)

Итак, подозрительное на оптимальность управление обладает следующей структурой:

(77)

На оптимальном решении задачи (57)-(63) должно выполняться условие трансверсальности

(78)

для всех , , , удовлетворяющих следующему условию:

(79)

Вариация определяется выражением (32) (поскольку функционал (57) не зависит от фазовых переменных ), а вариация вычисляется так:

. (80)

Пользуясь соотношением (63), получим

(81)

(82)

(83)

Условие трансверсальности (78) можно переписать так:

(84)

Выразим из (79) вариацию :

(85)

и подставим это выражение в (84). Считая вариации , произвольными, получим

(86)

(87)

Теперь выпишем дифференциальное уравнение для сопряженной переменной :

(88)

Итак, двухточечная краевая задача принципа максимума для задачи застройщика, склонного к риску, запишется в следующем виде:

(58)

(59)

(60)

(66)

(88)

(61)

(86)

(87)

(63)

где оптимальное управление определяется выражением (77).

Далее следует проводить численное решение этой двухточечной краевой задачи, которое и будет являться искомым решением задачи (57)-(63) (см. п.6).

5. ЗАДАЧА ДЛЯ ЗАСТРОЙЩИКА, НЕ СКЛОННОГО К РИСКУ

Наконец, займемся задачей (4). Она формулируется так:

Минимизировать функционал

(89)

при условиях (58)-(62) и

(90)

Данная задача обладает такой же функцией Гамильтона-Понтрягина, что и задача (57)-(63), и, следовательно, имеет одинаковую с ней структуру оптимального управления и систему канонических уравнений. Иным будет лишь условие трансверсальности и, как следствие, иные 2N + 1 краевых условий.

Выпишем условие трансверсальности

(91)

Оно должно выполняться для всех , , , удовлетворяющих следующему условию:

(92)

Здесь определяется выражением (32), а - выражением (80).

Условие (91) можно записать так:

(93)

Выразим из (92) вариацию :

(94)

и подставим ее в (93):

(95)

Считая вариации , произвольными, получим:

(96)

(97)

Окончательный вид краевой задачи принципа максимума:

(58)

(59)

(60)

(66)

*

(88)

(61)

(96)

(97)

(90)

где оптимальное управление определяется выражением (77). Опять-таки, эта двухточечная краевая задача интегрируется только численно.

6. О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ТРЕХ ЗАДАЧ

Как уже было отмечено ранее, принцип максимума Понтрягина дает лишь необходимое условие оптимальности и приводит к специального вида краевой задаче. Если из каких-либо соображений заранее известно о существовании решения исходной задачи оптимального управления и соответствующая краевая задача принципа максимума выделяет единственное решение, то оно и будет оптимальным.

Известно [7, с.298], что в применении к нашим задачам оптимального управления (задачи (24)-(28), (57)-(63) и (89),(58)-(62),(90)) для существования т.н. слабого оптимального управления (иначе говоря, принадлежащего к классу скользящих режимов) достаточно выполнения условия равномерной ограниченности семейства траекторий для всех управлений , удовлетворяющих условию . Напомним, что динамическая система вышеупомянутых задач выглядит так:

(58)

(59)

(60)

(61)

Покажем покомпонентную равномерную ограниченность фазового вектора .

Таким образом, слабое оптимальное управление во всех трех рассматриваемых задачах существует. К слову заметим, что для существования оптимального кусочно-непрерывного управления достаточно выполнения указанного выше условия равномерной ограниченности семейства траекторий и дополнительного условия выпуклости множества векторов правых частей динамической системы для любых фиксированных и [7].

Литература

  1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 1999

  2. Хачатрян С.Р., Фаерман Е.Ю., Федорова Н.Л., Кириллова А.Н. Современные аспекты анализа и модельного обоснования региональной жилищной политики на базе ипотеки (на примере г. Москвы) // Аудит и финансовый анализ. 2000. №4.

  3. Понтрягин Л.С., Болтянский Б.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1983.

  4. Семенов В.В., Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Математическая теория управления в примерах и задачах. - М.: Изд-во МАИ, 1997.

  5. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. - М.: Изд-во МГУ, 1974.

  6. Болдырев В.И. Численное решение задачи оптимального управления // Теория и системы управления. 2000. №3.

  7. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. - М.: Наука, 1972.

Контактный телефон:
+7 (495) 129-16-00
Бекларян Левон Андреевич


Все права на материалы, находящиеся на сайте auditfin.com, охраняются в соответствии с законодательством РФ. При любом использовании материалов сайта необходимо указать auditfin.com в качестве источника (hyperlink). Свидетельство СМИ ПИ №ФС77-18880 от 22.11.04 г.