8. БИЗНЕС-РЕИНЖИНИРИНГ

8.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ КРЕДИТНО-ИНВЕСТИЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ МАЛЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ: ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ И КОМБИНИРОВАННЫХ СХЕМ ФИНАНСИРОВАНИЯ

{ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 02-06-80159 «Теоретическое и экспериментальное моделирование микроэкономических взаимодействий в сфере малого бизнеса)}

Егорова Н.Е., д.э.н., профессор, главный научный сотрудник ЦЭМИ РАН;
Хачатрян С.Р., к.э.н., член.-корр. ЖКА, и.о. зав. лабораторией ЦЭМИ РАН;
Воробьев О.Е., ст. преподаватель МЭСИ

Данная работа является продолжением исследований по экономико-математическому анализу деятельности малых предприятий, использующих для своего развития различные инвестиционные ресурсы. Основные результаты этих исследований изложены в работах [1.4], где представлен комплекс экономико-математических моделей, основанных на применении аппарата дифференциального исчисления и учитывающих различные способы инвестирования малого бизнеса (самофинансирование, государственная поддержка, кредитование).

В отличие от других, наиболее часто используемых методов экономико-математического анализа (методы линейного программирования, имитационного моделирования и т.д.), изложенный в работах [1.4] инструментарий является достаточно нетрадиционным и оригинальным в применении его к задачам исследования деятельности малых предприятий.

В упомянутых выше исследованиях выделяются два направления. Первое из них имеет целью анализ динамических свойств изучаемых объектов [1.3]. Основное назначение моделей этого направления – описание основных закономерностей динамики малых предприятий, тенденций и стратегий их развития в зависимости от изменяющихся параметров внешней среды (и, в частности, от кредитно-инвестиционных факторов), а также параметров внутреннего управления.

Методический принцип, использованный здесь, состоит в движении от простых моделей к более сложным, что позволяет построить серию их модификаций, образующих целостный комплекс. В основе этого комплекса моделей лежит единая концептуальная схема, представляющая малое предприятие как открытую экономическую систему с наличием положительной обратной связи.

Входами системы являются различные виды производственных ресурсов (сырье, материалы, рабочая сила, производственные фонды); выходами - производимые малым предприятием товары и услуги.

Контур положительной обратной связи образуется как зависимость входных переменных системы (ресурсов) от выходных (результатов деятельности в виде суммарного дохода или выручки за произведенный товар) и реализуется через фонды развития малого предприятия. По существу контур положительной обратной связи описывает механизм самофинансирования малого предприятия, то есть развитие его за счет внутренних инвестиционных ресурсов.

Большое влияние на функционирование малого предприятия оказывает внешняя среда, структурированная на различные рынки (производственных и финансовых ресурсов, товаров и услуг), конъюнктура которых определяет условия развития малой хозяйственной единицы. В частности, рынок финансовых ресурсов (кредиты, цена которых определяется величиной ставки кредитования; финансовые инструменты с известной доходностью размещения средств и т.д.) в известной степени обуславливает силу действия внешнего инвестиционного фактора.

Кроме взаимодействия с вышеперечисленными рынками, микроэкономические взаимодействия малых предприятий осуществляются с различными экономическими агентами – управленческими и организационными структурами. Так, внешние инвестиционные ресурсы малого предприятия могут формироваться как за счет государственного бюджета, так и за счет средств федеральных и региональных фондов поддержки малого предпринимательства, а также средств других частных фондов и физических лиц.

В связи с этим возникает задача оптимального расходования средств, выделяемых внешним инвестором. Данная постановка проблемы является основой для второго направления исследований, осуществляемого в рамках теории оптимального управления. В работе [4] сформулирована задача поиска оптимальной стратегии инвестирования предприятия (с использованием критерия максимума дисконтированной прибыли предприятия, идущей на потребление) и предложены методы ее решения. Второе направление исследований использует основные соотношения дифференциальных моделей малого предприятия и таким образом продолжает и дополняет первое направление.

В то же время часть вопросов модельного исследования микроэкономических взаимодействий малого предприятия остается нерешенной, что и определяет актуальность данной работы. В частности, при исследовании за рамками остались вопросы комплексного, многоканального инвестирования малых предприятий, осуществляемого одновременно из различных финансовых источников; недостаточно полно исследованы условия предоставления кредитов и их доступность для малых фирм; не рассмотрены альтернативные способы вложения собственных средств предприятия в другие виды деятельности (диверсификация производства) и ценные бумаги с фиксированной доходностью; не учтена динамика выбытия фондов. Все эти аспекты отражены в излагаемой далее обобщенной модели динамики развития малого предприятия, использующего комбинированные схемы финансирования. Поскольку данная модель в значительной степени опирается на предыдущие разработки, авторы сочли необходимым дать краткий обзор полученных ранее результатов.

1. ОБЗОР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

В данном разделе производится краткий анализ основных результатов исследования, полученных авторами ранее. Так как формальная сторона вопроса подробно освещена в работах [1,2,4] (где приводятся основные соотношения динамических моделей и осуществляется поиск их решения), здесь приводятся лишь качественные результаты, полученные с использованием разработанного модельного комплекса.

Разработанный инструментальный комплекс состоит из моделей М1, М2, М3 и ОМ1 (см. рис. 1).

Модель М1

Модель М1 является базовой и основывается на следующих гипотезах:

  1. Малое предприятие может развиваться как за счет внутренних источников (прибыли), так и за счет внешней финансовой поддержки в виде инвестиций.

  2. Рассматриваются три различных стратегии государственной поддержки малого предпринимательства: а) постоянная (с фиксированными объемами инвестиций для каждого из периодов); б) линейно возрастающая (с известным постоянным темпом роста инвестиций); в) нелинейно возрастающая (с нарастающим темпом и минимальным уровнем гарантированного государственного субсидирования). Собственная инвестиционная стратегия малого предприятия определяется постоянной долей чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование.

  3. Основные производственные фонды являются единственным лимитирующим фактором, определяющим выпуск продукции.

  4. Малое предприятие функционирует при неизменной технологии, что предполагает постоянство его фондоотдачи.

  5. Производственная деятельность описывается однофакторной функцией типа Леонтьева, а темпы развития предприятия определяются динамикой основных производственных фондов, которая, в свою очередь, определяется величиной инвестиционных ресурсов (отчислениями от прибыли и величиной финансовой поддержки).

Соотношения модели описывают взаимосвязи между такими агрегированными переменными, как объем выпуска, стоимость основных производственных фондов и темпы их прироста, общая и чистая прибыль, сумма налоговых отчислений.

После проведения необходимых преобразований соотношений модели М1 получено обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого определяется выбором государственной стратегии субсидирования. Общее решение этого уравнения для различных вариантов правых частей позволило сопоставить темпы роста основных производственных фондов для различных стратегий финансовой поддержки малого предприятия: как и следовало ожидать, при прочих равных условиях, они выше в условиях более интенсивной финансовой поддержки. Однако они существенно зависят также и от структурных характеристик системы (удельных затрат, ставки налогообложения и т.д.).

Рис. 1. Схема классификации моделей динамики малых предприятий

К числу структурных характеристик, влияющих на динамику развития предприятия, относится доля чистой прибыли, отчисляемой на инвестирование. В связи с этим в модели М1 рассмотрена еще одна стратегия внутреннего инвестирования, которая отражает тенденцию активизации процессов самофинансирования малого предприятия, наблюдаемую в современных условиях некоторого улучшения инвестиционного климата. При этом рост внутренних инвестиций определяется долей чистой прибыли, задаваемой в виде степенной функции от времени. Показано, что в новых условиях модель М1 становится нелинейной; а решение соответствующего ей нелинейного дифференциального уравнения зависит от вида правой части (функции внешнего инвестирования). В том случае, если оно неразрешимо относительно искомой переменной (стоимости основных фондов), его можно решить приближенными методами [5], либо с его использованием сделать верхнюю оценку возможного изменения этой переменной с помощью неравенства Беллмана-Гронуолла [6].

Произведенная оценка показала, что величина верхней границы динамики основных фондов зависит как от их начального уровня и общего объема выделенных за период внешних и внутренних инвестиций, так и от целого ряда других факторов. К числу факторов, «тормозящих» динамику процесса, относятся переменные, ограничивающие долю инвестирования и характеризующие налоговое бремя предприятия; к числу факторов, «форсирующих» динамику процесса, относятся факторы, определяющие величину удельной прибыли малого предприятия и его фондоотдачи.

Отмечено, что исследование «форсирующих» факторов роста предприятия как функций времени означает использование в экономико-математическом анализе производственных функций нелинейного типа, что определяет необходимость разработки соответствующей модификации модели М2.

Модель М2

Модель М2 основана на системе гипотез (1) – (4) модели М1. Вместо линейной производственной функции (гипотеза (5)) используются нелинейные виды однофакторных производственных функций, в том числе:

  • степенная – для описания функционирования новообразованного малого предприятия, освоившего относительно свободную рыночную нишу и имеющего высокий потенциал развития;

  • экспоненциальная, с затухающими темпами и наличием асимптоты – для описания функционирования малого предприятия, имеющего ограничения по спросу.

  • Анализ основного уравнения динамики объекта для случая степенной производственной функции позволил сделать вывод о неразрешимости его в явном виде для некоторых видов правых частей (функций внешнего инвестирования). Так, в ситуации постоянного или возрастающего по линейному закону внешнего инвестирования полученное дифференциальное уравнение первой степени целесообразно решать приближенными методами [5]. В то же время в условиях отсутствия внешних инвестиций (малая фирма развивается только за счет собственных средств) динамика предприятия может быть описана уравнением Бернулли, которое является разрешимым [6].

    Показано также, что рассматриваемое дифференциальное уравнение разрешимо для случая особой стратегии государственной финансовой поддержки, которая стимулирует рост малого предприятия (чем больше предприятие, тем больше инвестиций ему выделяется). При этом функция внешних инвестиций предполагается пропорциональной величине основных фондов малого предприятия с заданным коэффициентом пропорциональности.

    Качественный анализ решения, полученного для стимулирующей стратегии, свидетельствует о том, что рост основных фондов в модели М2 определяется начальным их состоянием, структурными характеристиками объекта (малого предприятия), а также соотношением между темпами роста инвестиций и показателями эффективности производства.

    В случае экспоненциальной производственной функции предполагалось, что данная функция отражает процесс роста малого предприятия от некоторого его начального состояния до возможного предела (асимптоты), определяемого внешними условиями (насыщение спроса, максимально возможный уровень интенсификации труда небольшого штата сотрудников и т.д.). При этом дальнейшее падение производства в условиях мобильности малого бизнеса почти всегда означает свертывание производства и организацию нового дела; поэтому ситуации снижения выпуска продукции в данной модели не рассматривались.

    Соответствующее дифференциальное уравнение динамики основных фондов малого предприятия было получено для двух видов внешнего инвестирования: а) постоянные инвестиции; б) инвестиции, растущие по нелинейному закону (по экспоненте) с известным темпом роста. Решение этого уравнения для обоих вариантов внешнего инвестирования характеризует логарифмический тип роста основных производственных фондов малого предприятия.

    Модель М3

    Модель М3 основана на гипотезах (3), (4) и (5) модели М1. При этом вместо государственной финансовой поддержки (гипотезы (1) и (2)) в качестве внешнего инвестирования малого предприятия рассматриваются кредиты, с учетом заданных условий их предоставления и погашения. В частности, в модели М3 исследуется случай единоразового кредитования с равномерным погашением долга.

    Предполагается, что предоставление единовременного кредита осуществляется в начальный момент времени и влечет за собой увеличение стоимости начального размера основных фондов малого предприятия. По кредиту начисляются сложные проценты, а его погашение (с учетом процентов) осуществляется равными суммами и завершается к концу рассматриваемого периода. При этом необходимость возврата долга уменьшает прибыль малого предприятия (за счет погашения основного долга) и обусловливает рост удельной себестоимости продукции (за счет начисления процентных издержек).

    Сравнительный анализ системы соотношений моделей М1 и М3 дает возможность установить идентичность их математической структуры (с точностью до констант и начальных условий), что позволяет получить решение для модели М3 методом аналогии.

    Качественный анализ решения свидетельствует о том, что темп роста малого предприятия зависит не только от его внутреннего экономического механизма (структурных характеристик объекта), но и соответствия этого механизма условиям кредитования.

    Анализ соотношений модели М3 позволил сформулировать следующие условия доступности кредита (для рассмотренного варианта его предоставления и погашения):

  • необходимое: для каждого момента времени размер процентов не должен превышать общей прибыли малого предприятия,

  • достаточное: для каждого момента времени размер чистой прибыли должен превышать долговые обязательства.

  • Рассмотренная модель М3 свидетельствует о важности исследования вопросов, связанных с условиями предоставления и возврата кредитов, так как они существенно влияют на доступность кредитов для малых предприятий. Поскольку проблема кредитования малых предприятий является весьма актуальной (последние два года процесс кредитования малых фирм заметно интенсифицировался), дальнейшее развитие рассмотренного инструментария целесообразно осуществлять как по пути более детального анализа процессов кредитования, так и в направлении построения более общих вариантов моделей малого предприятия, учитывающих многоканальные (комбинированные) схемы финансирования. Такая обобщенная модель (М4) формулируется и рассматривается далее в разделе II данной работы.

    Сравнительный анализ решений, полученных по дифференциальным моделям М1, М2, М3, представляющим первое направление исследований, свидетельствует о следующем:

    1. При использовании линейных производственных функций (модели М1 и М3) решение соответствующего основного уравнения динамики является суммой двух слагаемых: первое из них характеризует динамику основных фондов малого предприятия за счет фактора эффективной организации его внутренней структуры; второе – кроме этого фактора учитывает также фактор силы действия кредитно-инвестиционных связей рассматриваемого объекта.

    Так, для случаев постоянных и нелинейных (экспоненциально растущих с заданным темпом) инвестиций (модель М1), а также для единоразового кредита с равномерным погашением долга (модель М3), решение соответствующих уравнений имеет общий вид и представимо в виде линейной комбинации двух экспонент, одна из которых определяет величину фондов в зависимости от параметра, характеризующего внутреннюю структуру и эффективность работы малого предприятия, а другая – главным образом в зависимости от интенсивности осуществляемых на нем инвестиционных процессов.

    Общий вид решения в этих случаях может быть описан следующей формулой:

    , (1.1)

    где

    – номер рассматриваемой разновидности модели (с учетом различия условий инвестирования);

    – индекс времени;

    – величина основных производственных фондов малого предприятия;

    - параметр, зависящий от начального состояния фондов;

    – параметр, характеризующийся экономической эффективностью работы малого предприятия;

    – параметр, характеризующий степень интенсивности инвестирования;

    – параметр, отражающий сравнительное соотношение эффективности и инвестиционной активности предприятия.

    Таким образом, структура решения и характер динамики основных фондов не изменяются при использовании данного вида кредита (равномерное погашение долга), изменяются лишь темпы их роста.

    2. При использовании нелинейных производственных функций решение основного уравнения динамики имеет более сложный вид.

    Так, в том случае, если в модели используется степенная производственная функция и уравнение динамики является однородным уравнением Бернулли [6], решение имеет вид сложной степенной функции следующей структуры:

    , (1.2)

    где

    – параметр, зависящий от начальных условий;

    и - параметры, зависящие как от эффективности малого предприятия, так и от инвестиционной политики;

    0<<1 – параметр, зависящий только от эффективности работы малого предприятия.

    В том случае, если используется экспоненциальная производственная функция, решение имеет характер сложной логарифмической зависимости. Так, для постоянных инвестиций решение имеет следующий вид:

    , (1.3)

    где

    , и - параметры, определяемые как эффективностью работы малого предприятия, так и инвестиционной политикой.

    Самостоятельный цикл исследований на базе модели М1 проведен в работе [4] с использованием оптимизационного подхода. При этом если в моделях М1 - М3 использовался вариантный подход и аналитическим методом выявлялась динамика развития моделируемого объекта (малого предприятия) в зависимости от параметров внешнего и внутреннего управления (в частности – от инвестиций), то в работе [4] ставилась противоположная задача: каким образом следует управлять инвестиционным потоком (собственными инвестициями или внешней финансовой поддержкой) для того, чтобы обеспечить оптимальное значение выбранного критерия деятельности фирмы.

    С этой целью модель М1 модифицирована в модель ОМ1 следующим образом:

  • малое предприятие рассматривается как управляемая динамическая система, управляющей переменной которой является доля отчислений от прибыли, а фазовой переменной - основные фонды;

  • внешнее инвестирование представляется не функцией времени, а функцией состояния – величины основных фондов (считается, что финансирование фирмы зависит от масштабов производства);

  • устанавливается связь между величиной потребляемой части прибыли и масштабами производства (определяемыми в модели стоимостью основных фондов); при этом в модель вводится соответствующая переменная, а в качестве критерия деятельности фирмы рассматривается максимум интегральной дисконтированной прибыли, идущей на потребление.

  • Показано, что рассмотренная в рамках принятых гипотез оптимизационная модель развития малого предприятия с учетом внешнего инвестора (ОМ1) формализуется в канонической форме модели Рамсея с дисконтным критерием [7]. Для определения функции оптимального управления использован принцип максимума Понтрягина [8] в форме, принятой в [7].

    Полученное решение, представляющее собой функцию времени, характеризуется наличием момента переключения: при любом начальном капитале фирмы процесс оптимального управления внутренними инвестициями имеет в общем случае две стадии:

  • накопление капитала – стадия роста фирмы (при определенных параметрах системы эта стадия может отсутствовать);

  • полное потребление – стадия зрелости и инерции (при достигнутых масштабах производства развитие осуществляется за счет возросшей инвестиционной поддержки).

  • Данный результат позволяет сделать предположение о том, что в этой модели состояние объекта – важный фактор в процессе управления предприятием (и, в частности, при переходе его от одной стадии к другой). В связи с этим в модели ОМ1 был применен Беллмановский подход, позволяющий использовать оценочную функцию состояния объекта для задач с конечным горизонтом. На основе этого подхода было получено оптимальное управление способом оценочной функции, определяющей пороговое значение основных фондов.

    Таким образом, оптимальная стратегия руководства предприятия состоит в том, чтобы: а) максимально самофинансировать производство (если величина фондов не достигла своего порогового значения); в) максимально потреблять (если величина фондов превышает это пороговое значение). Соответственно, управляющая переменная – доля прибыли, направляемой на внутреннее инвестирование, принимает значение 1 или 0.

    Исследование стратегии оптимального управления было продолжено для задач с бесконечным горизонтом: осуществлен синтез решения; получены формулы, определяющие момент переключения (начало периода накопления капитала) и значение функционала.

    Рассмотрены примеры построения стратегии оптимального управления для двух функций инвестирования:

    а) линейной (со скачком в нулевой точке, то есть инвестиции включают постоянную и переменную части);

    б) степенной (показатель степени меньше 1).

    Полученные результаты подтвердили, что общий характер функции оптимального управления не изменяется при переходе от конечного к бесконечному горизонту.

    Исследованные случаи позволили сделать вывод о том, что стратегия оптимального управления (в рамках рассмотренной модели ОМ1) определяет следующий тип поведения объекта:

  • сначала предприятие живет в режиме накопления капитала и активного внутрифирменного инвестирования, а затем (достигнув критической величины основных фондов) переходит в режим непроизводственного потребления;

  • начиная с некоторой критической величины, производство растет только за счет внешних инвестиций, а само предприятие «получает» их задаром, не отдавая ничего взамен.

  • В связи с этим представляет интерес исследование такой модификации модели, в которой условия инвестирования не являются такими льготными, что могло бы стать направлением дальнейших исследований.

    2. ОБОБЩЕННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА СТРАТЕГИЙ РАЗВИТИЯ МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФИНАНСОВЫХ ИНТСТРУМЕНТОВ И КОМБИНИРОВАННЫХ СХЕМ ФИНАНСИРОВАНИЯ (М4)

    Рассмотрим модель М4, предполагающую функционирование малого предприятия в условиях, близких к описываемым в моделях М1 – М3, но отличающихся от них по следующим направлениям.

    В указанных моделях [1,2] предполагалось, что если доля средств от чистой прибыли , реинвестируемая в развитие малого предприятия, составляет величину , то оставшаяся часть этой прибыли в размере идет на потребление. Однако при реализации инвестиционных проектов, а также в условиях привлечения кредитных ресурсов и разных схем их погашения может возникнуть необходимость накопления средств для выполнения определенных обязательств по погашению кредитной задолженности. В этом случае часть чистой прибыли в размере идет на потребление, а другая в размере , где , идет на “внешние” вложения с использованием, например, имеющихся в распоряжении малого предприятия финансовых инструментов.

    Указанная предпосылка является специфичной именно для малого предпринимательства, где граница между производственным и личным потреблением бывает часто довольно условной. В наибольшей степени она правомерна для тех видов малых предприятий, которые организованы либо по принципу семейного подряда, либо по принципу объединения в одном лице собственника, менеджера и основного сотрудника-производителя. Кроме того, целеесообразность подобной процедуры возникает лишь в том случае, когда доходность от используемых финансовых инструментов выше внутренней инвестиционной доходности малого предприятия.

    Итак, в модели М4 считается, что малое предприятие может одновременно использовать четыре различных финансово-инвестиционных источника для своего развития:

    а) собственные средства (часть реинвестируемой прибыли);

    б) кредиты (предполагается, что кредиты выдаются ежегодно в виде кредитной линии);

    в) государственная инвестиционная поддержка (предполагается в виде государственного субсидирования кредитов – между величиной кредитов и государственными инвестициями соблюдается известная пропорциональность на всем рассматриваемом промежутке времени);

    г) доход от внешних инвестиций малого предприятия (за счет части свободной прибыли).

    В моделях, рассмотренных ранее, учитывается либо один, либо два из перечисленных выше источников финансирования.

    Отличительной особенностью данной модели являются также условия предоставления и погашения кредита. В модели М4 рассматриваются льготные условия кредитования, характерные именно для малого бизнеса; погашение кредита осуществляется из двух источников: проценты включаются в себестоимость, основной долг компенсируется за счет внешнего инвестирования. Таким образом, внутренняя инвестиционная программа предприятия сохраняется неизменной.

    Кроме того, в отличие от моделей М1 – М3, здесь в уравнении динамики фондов учитывается процесс их выбытия, связанный с моральным и физическим износом. Заметим, что данная проблема актуальна не только для рассматриваемого класса объектов – малых фирм, но и для всех современных российских предприятий ввиду значительной изношенности их основных фондов. К 2003-2005 гг. по экспертным оценкам прогнозируется беспрецедентный (обвальный) уровень выбытия основных фондов, составляющий в виду крайнего их износа до 70-80% их стоимости [9]. В описанной ситуации для обеспечения развития малого предприятия оказывается важным, во-первых, скорость обновления фондов, во-вторых, размер и условия предоставления кредита (то есть принятая схема кредитования). Эти условия могут либо благоприятствовать успешному росту и развитию малого предприятия, либо тормозить темпы его динамики.

    Итак, в обобщенной модели малого предприятия используются гипотезы (1), (3), (4), (5) модели М1. Кроме того, добавлены следующие гипотезы:

    (2¢ ) – государственная поддержка определяется спросом предприятия на кредиты;

    (7) – заемные средства привлекаются в виде кредитной линии;

    (6) – часть свободной прибыли предприятия размещается в доходные финансовые инструменты;

    (8) – основной долг погашается за счет доходов от внешнего инвестирования;

    (9) – учитывается процесс выбытия основных фондов.

    Таким образом, предлагаемая модель М4 является в указанном смысле обобщенной и более полно отображает факторы, влияющие на развитие малого предприятия. С учетом сделанных предположений система соотношений малого предприятия для модели М4 может быть записана следующим образом:

    ; (2.1)

    ; (2.2)

    ; (2.3)

    ; (2.4)

    ; (2.5)

    . (2.6)

    Здесь и далее используются величины и , аналогичные переменным, введенным в модели М3 (процентные платежи и размер погашения основного долга соответственно, см. [1,2]), но в отличие от них являются функциями времени и зависят от принятой схемы кредитования; - коэффициент соотношения государственного финансирования и объемов кредитования , т.е. предполагается, что государственная поддержка (инвестирование) пропорциональна кредитам ; > 0 – коэффициент выбытия основных фондов. Использование гипотезы (8) позволило в значительной мере вывести процесс погашения основного долга за рамки главного направления производственно-финансовой деятельности малого предприятия и в максимальной степени сохранить структуру базовой модели М1.

    Остальные переменные соответствуют ранее введенным обозначениям, а именно:

    – выпуск продукции в момент в стоимостном выражении;

    – показатель фондоотдачи;

    – стоимость основных производственных фондов;

    – удельная себестоимость выпуска продукции в стоимостном выражении;

    – общая прибыль малого предприятия за вычетом налоговых отчислений (но без возврата долговых обязательств);

    – сумма налоговых отчислений;

    , – ставки налогообложения на объем выпуска и прибыль соответственно (предполагается, что малое предприятие выплачивает налоги в соответствии с общей системой налогообложения);

    - коэффициент, отражающий долю реинвестируемых средств прибыли, не имеющих льгот по налогообложению,

    , где – время; – горизонт моделирования.

    Заметим, что в соотношении (2.2) сумма процентов учитывается в себестоимости продукции таким образом, что общий размер затрат увеличивается и составляет величину . Отсюда общая прибыль малого предприятия определяется из следующего соотношения:

    .

    Запишем основное уравнение динамики рассматриваемого объекта, проведя необходимые преобразования. Из соотношений (2.3) и (2.4) получим явное выражение для показателя чистой прибыли предприятия .

    Так как

    ,

    то

    (2.7)

    Вводя обозначения

    и

    ,

    получаем следующую линейную зависимость от переменных и :

    . (2.8)

    Подставив (2.8) в (2.6) и обозначив , получаем:

    . (2.9)

    Решение линейного дифференциального уравнения (2.9) зависит от вида функций , , , определяемых условиями кредитования.

    В качестве примера рассмотрим три типовых схемы кредитования, различные комбинации которых позволяют достаточно полно представить множество условий предоставления кредитов малым предприятиям в реальной экономической практике [7].

    В целях удобства сопоставления схем будем считать общим для них единый способ кредитования рассматриваемого малого предприятия – формирование «кредитной линии». При этом общий объем выделяемых кредитных ресурсов распределен в периоде [0,T] по некоторому известному закону , отображаемому соответствующим классом функций (линейная или нелинейная зависимость), а схемы кредитования различаются условиями (механизмами) погашения долга:

  • "воздушный шар" (в этой схеме период погашения долга приходится на конец периода кредитования, причем в этот момент предполагается либо единовременное погашение всей задолженности по кредиту, либо возврат только основного долга, но с процентными выплатами в течение всего срока кредитования);

  • равномерное погашение (функция выплаты долговых обязательств имеет линейный характер);

  • «кредитные каникулы» (выплата долговых обязательств начинается с некоторого момента интервала кредитования).

  • Особенности условий погашения долговых обязательств отображаются различными функциями , характеризующими суммы накопленных выплат долга.

    Хотя различные виды функций и достаточно хорошо описаны в литературе по финансовой математике (см., например, [10]), с методической точки зрения представляет интерес форма их модельного отображения.

    Если ввести переменную ежегодных выплат долговых обязательств как сумму долговой части и процентов, то можно записать:

    =+ ; (2.10)

    . (2.11)

    Таким образом, вид функции возмещения долговых обязательств определяется условиями ежегодных выплат , которые, в свою очередь, заданы конкретными схемами погашения долга.

    Точно так же можно ввести функции накопленного кредитного финансирования и общей кредитной задолженности предприятия , которые в условиях кредитной линии будут монотонно возрастающими, а их вид будет определяться способом задания функции и величиной процента :

    ; (2.12)

    . (2.13)

    Остаток долговых обязательств (текущая ссудная задолженность малого предприятия перед банком) может быть охарактеризована функцией , динамика которой зависит от соотношения функций и :

    . (2.14)

    На рис. 2 отображены функции , , и для различных схем кредитования для примера кредитной линии, описываемой линейной функцией с отрицательной первой производной. Очевидно, что характер функций, описывающих долговые обязательства малого предприятия, существенно различен. Так, функция текущей ссудной задолженности для схемы «воздушный шар» является медленно убывающей с резким скачком в конце периода; для второго случая – монотонно убывающей с высоким темпом динамики; для схемы кредитных каникул – нелинейная, с переходом от возрастающей к убывающей динамике в точке .

    Приведенные на рис. 2 схемы относятся к льготным схемам кредитования, поскольку в соответствии с ними выплата основной части задолженности предприятия (его главное долговое бремя) смещено к заключительной стадии выплаты долга, и наиболее типичны именно для предприятий малого бизнеса. При этом, если в моделях требуется отражение временных льгот по кредитованию («кредитных каникул», отсрочек выплаты долга и т.д.), при моделировании момент времени +0 рассматривается как точка, после которой осуществляются расчеты (как это представлено далее в моделях); в том же случае, если в моделях отражаются контрактные условия (выплата долга до установленного срока), следует рассматривать точку -0.

    Рассмотрим процесс формирования «кредитной линии», то есть найдем величину потока кредитов для конкретного вида функции. Будем считать убывающей линейной функцией времени, заданной на интервале [0, ] и описывающей на этом интервале процесс равномерного распределения инвестиций объема . Данный вид зависимости является типичным, так как затраты начальных этапов большинства инвестиционных проектов обычно бывают наиболее капиталоемкими.

    Итак,

    ,

    где

    и – параметры зависимости, определяемые из условий:

    (2.15)

    Отсюда

    ;

    .

    Таким образом, получаем:

    (2.16)

    Исследуем на периоде [0,] процесс формирования кредитной задолженности , которая определяется величиной начисленных процентов с непрерывными темпами роста для кредитного потока .

    (2.17)

    Вычислим интеграл выражения (2.17) как алгебраическую сумму двух интегралов.

    Рис. 2. Схемы погашения долговых обязательств: а) “воздушный шар”; б) равномерная; в) “кредитные каникулы”

    Подставляя результаты интегрирования в выражение (2.17), получим:

    =. (2.18)

    Рассмотрим процесс погашения кредитной задолженности по различным схемам кредитования. Введем соответствующий индекс номера кредитной схемы = 1, 2, 3 и рассчитаем величины и .

    1. Схема «воздушный шар» (= 1)

    Согласно этой схеме кредитование осуществляется на всем периоде [0,T], а погашение всего долга осуществляется в конце срока кредитования, то есть в момент времени Т (рис. 2а). В условиях относительно небольшой величины кредитов, предоставляемых обычно малым предприятиям (а, следовательно, и небольших процентов по ним), данная схема имеет достаточно широкое распространение в сфере малого бизнеса. Эта схема имеет две модификации:

    1) выплата процентов по долгу в течение периода кредитования;

    2) выплата процентов и основного долга общей суммой единовременно в момент окончания срока кредитования Т.

    Рассмотрим первую модификацию, в соответствии с которой на интервале [0,T] в течение срока кредитования основной долг не погашается, а осуществляются равномерно только процентные выплаты, включаемые в себестоимость; тогда

    ;

    (2.19)

    В этих условиях с учетом (2.19) основное уравнение динамики основных фондов, как решение дифференциального уравнения (2.9), примет вид:

    , (2.20)

    где

    – начальное значение фондов;

    – параметр, определяющий эффективность предприятия и темп его роста.

    Вычислим последовательно соответствующие интегралы:

    , (2.21)

    где

    ;

    (2.22)

    где

    .

    Подставляя (2.21) и (2.22) в соотношение (2.20) для , получим следующее выражение:

    ,

    где

    .

    Обозначив , получим окончательно:

    , (2.23)

    для

    Соотношение (2.23) характеризует в рассматриваемом случае динамику малого предприятия как сумму экспоненциальной и линейной функций, параметры которых зависят как от внутренних, так и внешних управляющих переменных, входящих в и.

    Так как основной долг погашается в конце периода, то часть долга (доля свободной прибыли малого предприятия) в соответствии с принятой гипотезой (6) в течение рассматриваемого периода в размере может быть инвестирована во внешние финансовые инструменты, а остальная часть – потреблена. Схемы инвестирования этих средств, а также риски, с ними связанные, зависят от стратегии малого предприятия. Это может быть, в частности, портфель с разными рисками, включающий получение гарантированного дохода (вложения в государственные ценные бумаги, депозиты). Пусть - индекс доходности потока непрерывного вложения свободных средств и наращивания финансовых ресурсов предприятия для погашения основного долга. Тогда совокупные накопления малого предприятия, использующего инструменты внешнего инвестирования со средней доходностью , равны:

    (2.24)

    для всех , 0<<1,

    где

    - доля внешнего инвестирования от прибыли предприятия.

    С учетом (2.8) и (2.14) соотношение (2.19) примет вид:

    . (2.25)

    Подставляя в (2.25) выражение (2.23) для , получим:

    (2.26)

    С учетом того, что:

    получаем:

    (2.27)

    Используя линейные члены разложения функции в ряд при малых (то есть соотношение ), получим:

    . (2.28)

    Подставляя

    и

    в соотношение (2.28), получаем:

    . (2.29)

    Или, с учетом того, что , доход от внешнего инвестирования, выраженный в исходных переменных моделирования, к концу периода составит:

    . (2.30)

    Формулы (2.24) и (2.25) получены для модификации схемы кредитования «воздушный шар», предусматривающей выплату процентов в течение всего периода рассмотрения.

    Вторая модификация схемы «воздушный шар» предполагает следующие условия погашения долга:

    (2.31)

    Иными словами, в соответствии со второй модификацией этой схемы, выплата процентов и погашение основного долга производится в конце периода. Очевидно, что динамика основных фондов по второй модификации соответствует (с точностью до констант) динамике по первой модификации. Это означает, что в соотношении (1.23) при расчете константы для интервала [0,] следует считать ; а для момента времени +0 следует положить

    Таким образом, имеем:

    для Î [0, );

    для = +0. (2.32)

    Точно также доход от внешнего инвестирования по второй модификации может быть получен из формулы (2.30):

    для

    Î [0, );

    для

    = +0. (2.33)

    Или из формулы (2.29):

    для

    для = +0. (2.34)

    2. Схема равномерного погашения кредита

    По этой схеме период кредитования и период погашения долга совпадают, причем ежегодная сумма погашения задолженности является постоянной (см. рис. 2б). Данная схема является достаточно распространенной как среди малых, так и среди крупных предприятий. Заметим, что эта схема предполагает равномерное погашение долгов по кредитной линии и отличается от условий кредитования в модели М3, где равномерно погашается единовременный кредит [1].

    Пусть кредитная задолженность размером , вычисленная для кредитной линии (2.11), погашается равномерно так, что:

    для ;

    для (2.35)

    Тогда, в соответствии с общим решением основного дифференциального уравнения (2.9), имеем для второй схемы погашения кредита:

    . (2.36)

    Сопоставляя соотношения (2.36) и (2.20), убеждаемся в том, что формулы для расчета величин и различаются одним слагаемым, связанным с погашением основного долга , а именно:

    (2.37)

    Тогда (2.36) с учетом (2.23) и (2.37) примет вид:

    Раскрывая выражение для согласно (2.23) и вводя новые обозначения для констант, получаем:

    , (2.38)

    где

    Таким образом, динамика основных фондов подчиняется принципиально тем же закономерностям, что и для первой схемы.

    Величина фонда , накопленного за счет внешних финансовых инструментов, определяется следующим образом:

    = (2.39)

    С учетом соотношений (2.8) и (2.37) получаем:

    . (2.40)

    Поскольку функция в соотношении (2.40) отличается от функции в соотношении (2.25) только постоянными коэффициентами, можно воспользоваться уже полученным ранее решением (2.29) с соответствующей корректировкой коэффициентов.

    (2.41)

    где

    .

    3. Схема «кредитных каникул»

    Данная схема рассматривается как одна из льгот, предоставляемых малым предприятиям. В течение срока кредитных каникул [0,] погашение долга и процентов по нему не производится, а затем, в течение периода [,] осуществляется выплата задолженности, например, по схеме ее равномерного погашения (см. рис. 2в). В данной схеме период погашения долга представляет собой значительную часть периода кредитования; при этом

    для всех ;

    для всех ; (2.42)

    для всех ;

    для всех .

    Нетрудно видеть, что третья схема является комбинацией первой схемы (если рассматривать вторую ее модификацию) и второй схемы, причем точкой их «стыковки» является момент времени q . Сложность третьей схемы состоит в необходимости сопряжения указанных двух схем в точке q . Это означает, что константа интегрирования должна быть подобрана из условий равенства значений соответствующих функций и друг другу в точке , что обеспечит непрерывность рассматриваемой зависимости .

    Очевидно, что для любого [0, ] будет выполнено

    (2.43)

    где

    Данное выражение для может быть получено из соотношения (2.32), в котором рассчитывается на отрезке [0,].

    Для любого выражение для определяется как решение уравнения (2.9), но с учетом других пределов интегрирования и новых начальных условий. Это означает, что по аналогии с соотношением (2.36), описывающим динамику основных фондов для схемы равномерного погашения долга, можно записать:

    (2.44)

    где

    и - константа интегрирования, соответствующая начальному значению основных фондов в точке .

    Перейдем к интервалу [,] и повторим ту же последовательность действий, которая была осуществлена ранее для расчета динамики основных фондов (см. соотношения (2.21)-(2.23)), и вычислим интеграл :

    (2.45)

    С учетом того, что:

    имеем:

    (2.46)

    где

    в соответствии с ранее сделанными обозначениями.

    Подставляя (2.46) в (2.44) и учитывая, что

    а также, что и

    получаем:

    (2.47)

    Приравнивая (2.47) и (2.44) для , приходим к уравнению для определения константы :

    (2.48)

    где

    Подставляя (2.48) в (2.47), получаем окончательный вид функции для :

    (2.49)

    Учитывая, что

    и

    ,

    получаем:

    (2.50)

    где

    Заметим, что при = 0 выражение сводится к выражению, описывающему динамику основных фондов для . Действительно, в этом случае имеем:

    (2.51)

    Итак, динамика основных фондов по третьей схеме кредитования имеет следующий вид:

    = (2.52)

    для

    ;

    для

    )

    Оценка накопленной к концу периода прибыли осуществляется аналогичным образом, но с учетом того, что:

    1) функция описывается различным образом на двух интервалах времени;

    2) на втором интервале осуществляется погашение долга, имеем:

    (2.53)

    Вынесем за знак интеграла константу и опустим все константы при предварительном вычислении соответствующих интегралов:

    (2.54)

    .

    Используя линейные члены разложения экспонент в соотношениях (2.46) и (2.47) и подставляя результат в (2.45), получаем:

    ,

    где

    3. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ КРЕДИТНО-ИНВЕСТИЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

    Подведя итоги проведенного исследования, следует сопоставить динамические характеристики объекта в условиях различных вариантов кредитной политики. С этой целью могут быть использованы полученные аналитические зависимости, описывающие различные варианты динамики основных фондов и прибыли малого предприятия при различных схемах его кредитования.

    Основные фонды ; ( – номер варианта)

    I схема («воздушный шар»):

    1) первая модификация (выплата кредитов в плановом периоде, без конечной точки возврата долга):

    (3.1)

    2) вторая модификация (отсутствие выплаты процентов, без конечной точки возврата долгов);

    (3.2)

    II схема (равномерное погашение долга):

    (3.3)

    III схема («кредитные каникулы»):

    = (3.4)

    для .

    =

    для .

    Проанализируем свойства полученных зависимостей.

    1. Во всех схемах динамика основных фондов имеет идентичную структуру и определяется как линейная комбинация экспоненциальной и линейной функций. Во всех зависимостях имеются «сквозные» параметры: , входящий во все соотношения в качестве параметра при линейной функции, и , являющийся показателем степени при экспоненте; оба этих параметра определяют темпы (скорость) роста рассматриваемого показателя. Таким образом, разница в величине основных фондов определяется в основном коэффициентами, стоящими при экспоненциальной функции .

    2. Линейная комбинация рассматриваемых функций (линейной и экспоненты) в каждой из схем формируется по общему правилу: если исключить из рассмотрения начальную константу , то другие коэффициенты при экспоненте и свободные члены в линейной функции равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

    3. Так как в соответствии со сделанными гипотезами внутренняя инвестиционная стратегия малого предприятия не зависела от внешних финансовых инструментов (которые осуществлялись из фонда потребления), на динамику основных фондов не влияет показатель эффективности внешних вложений , а влияет показатель , интегрально характеризующий эффективность работы малого предприятия. Еще один фактор, влияющий на динамику , – это условия погашения кредита, которые определяют величину коэффициентов линейной комбинации рассматриваемых функций (см. табл. 1, где производится сравнительный анализ величин ).

    4. Общие свойства полученных зависимостей позволяют рассматривать их как семейство кривых (траекторий развития), исходящих из начальной точки

    .

    Заметим, что выплата долга по кредиту предполагает наличие у малого предприятия достаточных средств. Для оценки достаточности средств в работе рассматривалась величина накопленной на конец периода в результате внешнего инвестирования прибыли { Такой анализ является предметом самостоятельного исследования и в полном объеме здесь не проводится }.

    Накопленная прибыль (– номер варианта)

    I схема («воздушный шар»):

    1) первая модификация

    ; (3.5)

    2) вторая модификация

    . (3.6)

    II схема (равномерное погашение долга):

    . (3.7)

    III схема («кредитные каникулы»):

    (3.8)

    Сравнение вариантов накопленной прибыли свидетельствует о том, что первая и вторая модификации схемы I в условиях сделанной приближенной оценки (разложение функции в ряд до второго члена) не различаются:. Схема II дает меньшее накопление прибыли Схема III ввиду сложности полученной зависимости для анализа затруднена; результаты этого анализа существенно зависят от соотношений параметров и , то есть длительности кредитных каникул.

    Таблица 1

    МАТРИЦА СРАВНЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ КРЕДИТОВАНИЯ МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ ПО РАЗЛИЧНЫМ СХЕМАМ (для показателя основных фондов

    Вариант (схема) кредитования (i) Качественная оценка коэффициентов
    I II III
    1 2
    I «Воздушный шар»
    1. с текущим погашением процентов

    Х

    1. с текущим погашением процентов

    Х

    2. весь долг покрывается в конце периода  

    Х

    II. Равномерное погашение долга    

    Х

    Зависит от параметра q -
    III. «Кредитные каникулы»      

    Х

     

    Заключение

    Проведенное исследование кредитно-инвестиционной деятельности малого предприятия может быть продолжено в следующих направлениях:

  • распределение внутренних инвестиций предприятия на цели реинвестирования и на цели накопления за счет внешних вложений, имеющих относительно большую эффективность;

  • исследование доступности кредитов.

  • Литература

    1. Егорова Н.Е., Хачатрян С.Р. Динамические модели развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционные ресурсы. – М.: ЦЭМИ РАН, препринт #WP, 2001.

    2. Егорова Н.Е., Хачатрян С.Р., Маренный М.А. Дифференциальный анализ развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционный ресурс. –М.: Аудит и финансовый анализ, 2000, № 4.

    3. Егорова Н.Е., Хачатрян С.Р., Маренный М.А., Королева Н.В. Модели и методы анализа малого предпринимательства. В сб. Математическое и компьютерное моделирование социально-экономических процессов. – М.: ГГУ, 2000.

    4. Беленький В.З., Егорова Н.Е. Решение и анализ оптимизационной модели развития малого предприятия с учетом внешнего инвестора. В сб. Моделирование механизмов функционирования экономики России на современном этапе. – М.: ЦЭМИ РАН, 2002, вып. 6.

    5. Хемминг Р. Численные методы. – М., Наука, 1968.

    6. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М., Наука, 1974.

    7. Беленький В.З. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое программирование / #КЛ/2001/002. – М.: РЭШ, 2001.

    8. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. – М.: Наука, 1989.

    9. Стратегия развития предпринимательства в реальном секторе экономики. – М.: Наука, 2002.

    10. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – М.: Дело ЛТД, 1995.

    Контактный телефон:
    Хачатрян Сергей Рубенович
    +7 (495) 936-10-03


    Все права на материалы, находящиеся на сайте auditfin.com, охраняются в соответствии с законодательством РФ. При любом использовании материалов сайта необходимо указать auditfin.com в качестве источника (hyperlink). Свидетельство СМИ ПИ №ФС77-18880 от 22.11.04 г.